Denna sidan måste öppnas med en webbläsare som kan hantera matematiska formler.

Använd t.ex. Firefox för Windows eller Safari för Mac.

Utgångsläge Övning 1 Övning 2 Övning 3

█  P(A) (t.ex. andel A-produkter):

█  P(B) (t.ex. andel B-produkter):

█  P(C) (t.ex. andel C-produkter):

█  P(F och A):

█  P(F och B):

█  P(F och C):

Uppdatera

Några sannolikhetsberäkningar
Följande uttryck är definitionen för betingad sannolikhet (och naturligtvis måste nämnaren vara större än noll). Täljaren kallas ibland för 'sannolikheten för snitthändelsen av F och A'.
(I tillverkningssammanhang skulle man kalla P(F givet A) för felkvoten av A-produkterna):

Kommentar 1. Nedan beräknas tre olika sannolikheter och resultatet uppdateras då Venn-diagrammet förändras:

---

Kommentar 2. Det kan också vara intressant att beräkna 'den totala felkvoten'. Denna kan beskrivas som summan av de tre mindre färgade rutorna. Ibland kan det dock vara bättre att skriva om varje snitthändelse som en produkt, oftast är dessa mer lättillgängliga:

---

Kommentar 3. Följande beräkningar handlar om den 'omvända händelsen'. I översta exemplet var en produkt given (t.ex. 'A') och beräkningen gällde sannolikheten att den var felaktig. Här är det givna i stället en felaktig produkt och frågan vad sannolikheten är att det är en A-produkt:

---

Övrigt. Det kan tyckas att beräkningarna ovan bara är tillkrånglade beräkningar av kvoter (eller procentsatser). Teorin leder dock snabbt in i fördelningsteori, Bayes sats och s.k. bayesiansk analys. Se litteraturen för en fördjupad diskussion.

••••

Venn-diagram
Sannolikhetsberäkningar illustreras ibland med ett s.k. Venn-diagram (kvadraten till höger, ytan kallas ibland för ett sample space).
Ytan är här uppdelad i tre olika fält vars bredd styrs av indata till vänster. Dessa fält kan motsvara mängden av tre olika artiklar som tillverkas hos ett företag (på en Ericssons mönsterkortfabrik fanns det fyra olika grupper av mönsterkort), tre olika sjukdomar, etc.

Diagrammet innehåller också en yta (här en rektangel) som symboliserar mängden med en viss egenskap, t.ex. ’ej OK’, ’infekterad’, etc. Rektangeln kan flyttas eller ge ändras storlek (nedre högre hörn). Den kan ändras så att den fyller hela kvadraten eller endast en av de färgade ytorna. (Rektangelns yta kan inte göras till noll.) När rektangeln flyttas eller förändras gör också beräkningar diverse sannolikheter. Detta fönster öppnas med en ’info’-knapp.

••••

De tre översta rutorna är andelar (uttryckta som ett värde i intervallet [0, 1]) och motsvarar de färgade fälten i Venn-diagrammet. De tre värdena måste summera till 1 och efter varje ändring måste aktiveras med knappen [Uppdatera]:

P(A) (t.ex. andel A-produkter): Motsvaras av det svagt gula fältet i Venn-diagrammet.

P(B) (t.ex. andel B-produkter): Motsvaras av det svagt röda fältet i Venn-diagrammet.

P(C) (t.ex. andel C-produkter): Motsvaras av det svagt blå fältet i Venn-diagrammet.

De tre nedersta rutorna är sannolikheter som beräknas då Venn-diagrammet förändras:

P(F och A): Motsvaras av det mindre mer intensiva gula fältet i Venn-diagrammet.

P(F och B): Motsvaras av det mindre mer intensiva röda fältet i Venn-diagrammet.

P(F och C): Motsvaras av det mindre mer intensiva blå fältet i Venn-diagrammet.

••••

Att beräkna sannolikheter kan vara trivialt eller ganska komplicerat och kan uppta hela böcker eller åtminstone långa kapitel i läroböckerna.
’Betingad sannolikhet’ (eng. conditional probability) innebär att man har förhandsinformation och läses som ’Givet att… vad är då sannolikheten för…’.

Beräkningen av ’betingad’ respektive ej ’betingad’ brukar ge olika resultat: antag att det i en population finns en mängd olika produkter med olika felkvoter och att man vill beräknar sannolikheten att en slumpmässigt dragen produkt är ’ej OK’. Om man istället vet att man dragit produkt XYZ kanske resultatet blir helt annorlunda.

(Enligt vissa läroboksförfattare kan alla sannolikhetsberäkningar kallas ’betingade’ såsom ’givet att vi kastar en tärning, vad är då sannolikheten för…’.)

Den matematiska definitionen på betingad sannolikhet är följande:

$$P\mathrm{(}A\mathrm{ givet }B\mathrm{)}=\frac{P\mathrm{(}A\mathrm{ och }B\mathrm{)}}{P\mathrm{(}B\mathrm{)}}$$

Några kommentarer

• A och B beskrivs ofta som 'händelser' men behöver inte vara händelser i ordets vanliga bemärkelse. A kan vara 'personen blir mer än 80 år' och B kan ju vara 'personen är idag 75 år'.
  A kan vara 'vi har hittat en felaktig produkt' och B kan vara 'det är en XYZ-produkt'.
• Nämnaren P(B) gör att resultatet blir en sannolikhet. (Sannolikheten för icke-A plus sannolikheten för A måste bli exakt 1, annars är det ingen sannolikhetsfördelning.)

••••