Några exempel med kommentarer:

A. En biltillverkare har fått info om att en av deras modeller inbromsats oväntat av det automatiska bromssystemet. Man beslutat då att med samma fordon köra samma vägsträcka, samma riktning och i övrigt lika förhållanden som rapporterats. Man genomför n körningar men hittar 0 störningar. Vad kan man säga om proportionen 'störningar'?

B.  Man tänker så n frö för att se hur det är med grobarheten. Om det efter 5 veckor finns en spirande planta antecknas 'OK', annars 'ej OK'. Man blandar planteringsjorden noga, packar den på samma sätt i alla krukor, sår fröet, vattnar med noga doserad mängd enligt instruktioner och gällande kunskap. Efter 5 veckor finner man n spirande plantor. Vad kan man säga om proportionen 'ej OK'?

C.  En leverantör har förändrat en konstruktion och skickat 150 detaljer för test hos kund som inte hittar några felaktiga. Sedan tidigare finns en överenskomelse att felprocenten skall vara mindre eller lika med 1.5%. Vad kan kunden säga om proportionen 'ej OK'? Är resultatet i linje med kravet?

Analys.  Det är ganska meningslöst att beräkna den erhållna felkvoten, den blir ju noll. Men kanske man kan beräkna ett konfidensintervall? (Se [1] [2] [3] för mer info.)
Att beräkna ett konfidensintervall för en proportion visar sig dock vara en ganska komplicerad uppgift (före användning av datorer använde man sig uteslutande av enkla normalapproximationer).

Specialfallet '0 fel'.  '0 fel' är ju ett specialfall men ändå lite annorlunda. För detta fall finns det en mycket praktisk tumregel (3/n, se mer nedan).
Ett konfidensintervall för utfallet '0 fel' börjar naturligtvis i 0 ty det kan ju vara så att felet inte existerar. Det svåra blir intervallets övre ände. Hur skall vi beräkna det?
Om vi inte har tillgång till en dator, kanske vi sitter vid ett möte och får siffrorna presenterade för oss, kan vi använda en mycket praktisk, väldigt enkel tumregel som ger övre ändan i ett 95%-igt konfidensintervall för den okända proportionen p:

Exempel A.  Antag att fordonet kördes 50 gånger och vid inget tillfälle blev det någon felaktig inbromsning. Konfidensintervallets övre gräns blir då 3/50 = 0.06.
Det finns alltså 100 - 95 = 5% sannolikhet att få 0 fel trots att felprocenten kan vara 6%.
Verifiering: 'Antal felaktiga bland n' är en binomialfördelad variabel. Genom att med sliden i parameterfönstret ställa n till 50 och sedan flytta p-sliden så att sannolikheten för noll fel (den röda stapeln) blir 0.05. Värdet på p-sliden visar då 0.058 dvs mycket när det som tumregeln visar.

Exempel B.  Antag att man planterat 70 plantor och alla klarade testet. Intervallets övre gräns blir då 3/70 = 0.043. Det finns alltså 100 - 95 = 5% sannolikhet att få 0 misslyckade planteringar även om felprocenten är 4.3%.
Verifiering: Om sliden för n flyttas till 50 och p-sliden så att sannolikheten för noll fel att bli 0.05. Värdet på p-sliden visar då 0.042 dvs mycket när det som tumregeln visar.

Exempel C.  Tumregeln ger att en övre gräns blir då 3/150 = 0.02. Det finns alltså 100 - 95 = 5% sannolikhet att få 0 felaktiga produkter även om felprocenten är 2%.
Verifiering: Om sliden för n flyttas till 150 och p-sliden så att sannolikheten för noll fel att bli 0.05. Värdet på p-sliden visar då 0.0198 dvs mycket när det som tumregeln visar.

Härledning.  Det är relativt lätt att förstå härledningen av tumregeln 3/n. Se http://www.indstat.se och knapp [Statistikhörnan] och artikel nr 7 '0 fel bland...'. Det går naturligtvis att hitta tumregel för t.ex. 99% konfidensintervall men då förlorar det sin enkelhet.

Kommentar.  Exemple C visar ett av många sätt hur intervallberäkningen kan användas. Kunden kan t.ex. säga till leverantören att det hade behövts n = 198 (och 0 fel!) för att testresultatet skulle vara en bra indikation på att felkvoten är enligt specifikation.
(Placera p-sliden på 0.015 och flytta n-sliden så att den röda stapeln blir 5%.)

••••

(Tangentbordets pilar kan användas för att ändra sliderna)