Stickprovstorlek

Processens felkvot

c (max felaktiga
    i stickprovet)

   OC-kurvan ("Operating Characteristic") är en analys av en beslutsregel. Vid stickprovskontroll måste man fatta ett av två beslut:

1. man godkänner partiet (det kan alltså skickas vidare)
2. man underkänner partiet (det måste alltså allkontrolleras)

I båda besluten finns det en risk att göra fel – ett parti som borde god­kännas underkänns och ett parti som borde underkännas godkänns.

Dess risker beror på hur beslutsregel utformas dvs storleken på stickprovet (n) och hur många fel (c) som är acceptabelt. Med dessa två uppgifter kan man beräkna sannolikheten att ett parti accepteras (Y-axeln i diagrammet) givet olika felkvoter i processen (X-axeln i diagrammet).

Man kan då se att det finns en risk att ett parti som kommer från en process med acceptabel felnivå (AQL) inte accepteras utan felaktigt avvisas till all­kontroll. Anledningen är naturligtvis att man av slumpmässiga skäl råkat få för många felaktiga i stickprovet. Genom att ändra på parametrarna 'n' och 'c' erhålles en annan OC-kurva. Naturligtvis kan riskerna minskas genom att ta större stickprov men till priset av dyrare provtagning.

••••

Allmänt om OC-kurvan

Ett parti detaljer som ställs inför en stickprovstagning har naturligtvis ett antal vanliga egenskaper typ 'vikt', 'pris', 'hårdhet', etc. Om man har numeriska värden på dessa kan man rita ett antal grafer. Men det finns ytterligare data – om partiet kommer från en process med en viss felkvot så har partiet också en viss sannolikhet att passera stickprovskontrollen. Och med dessa två uppgifter, felkvot och sannolikhet, kan man rita en kurva. Hur ser en sådan kurva ut?

• Om felkvoten är 0 kan ju inga fel produceras och sålunda kommer partiet helt säkert att klara stickprovsundersökningen.
• Om felkvoten är (mycket) hög produceras många fel och sålunda kommer partiet helt säkert att inte klara stickprovsundersökningen.

Dessa två extrempunkter, en högt upp till vänster på diagrammet och en längst ned till höger, 'spänner' upp OC-kurvan och för felkvoter mellan 'låg' och 'hög' kommer kurvan naturligtvis att falla.

När man tidigare beräknade en OC-kurva utnyttjade man olika slags approximationer men numera, med hjälp av datorer, kan man frigöra sig från dylika approximationer. Här har dock bara binomial­fördelningen använts – inte den hypergeometriska fördelningen. Den senare gäller om man betraktar stickprovet som draget från ett större men klart avgränsat parti. Det visar sig dock att skillnaden i allmänhet blir försumbar (och dessutom skulle programmeringsarbetet öka kraftigt).

Annat.   Det finns en mängd viktiga saker att diskutera i samband med OC-kurvor – både sånt som hör direkt ihop med kurvan men också kringliggande konsekvenser. Några sådan diskuteras under knappen 'Funderingar...' men en fullständig förståelse kräver mer studier.

••••

Några grundläggande övningar

Funderingar...

Det finns ytterligare teoretiska och praktiska saker som är direkt eller indirekt förbundna med stickprovstagning och dess resultat. Nedan diskuteras några av dem men en fullständig förståelse kräver mer studier.

'Producentens risk'.   Det finns ju en viss sannolikhet (risk) att ett parti, som kommer från en process med felkvoten AQL, avvisas trots att det borde godkännas för leverans. Denna risk brukar kallas 'producentens risk' av förståelig anledning.

'Konsumentens risk'.   Det går ju att konstruera en OC-kurva som följer den ideala OC-kurvan för värden under AQL men det innebär också att partier från högre felkvoter också slinker igenom stickprovstagningen med oacceptabelt hög sannolikhet. Man definierar därför också en sannolikhet vid en högre felkvot. Denna sannolikhet kallar man ibland för Konsumentens risk av förståelig anledning. Denna punkt tar alltså tag i svansen på OC-kurvan och tvingar ned den till en acceptabel nivå. (Se litteraturen för mer info om Producentens repsektive Konsumentens risk.)

AOQ.   AOQ (Average Outgoing Quality) är en funktion som visar den kvalitetsnivå som man kan förvänta i strömmen av produkter från stickprovsförfarandet. Om det är låg felkvot in i systemet så är det naturligtvis låg felkvot ut från systemet, till konsumenten. Vid högre felkvoter kommer alltfler partier att tvingas genomgå allkontroll vilket alltså minskar den utgående felkvoten. Vid ännu högre felkvoter in i stickprovsystemet kommer praktiskt taget alla partier genomgå allkontroll vilket då betyder att utgående felkvot blir nära 0.
AOQL (Average Outgoing Quality Limit) är AQQ-kurvans högsta punkt.

ATI.   ATI (Average Total Inspection) är en funktion som visar förväntat antal produkter som måste kontrolleras per parti. Om stickproven, vars storlek brukar betecknas med n tas från en batch med storleken N kommer ATI-kurvan öka från n till N.
Vid låga felkvoter så är ATI samma som just stickprovets storlek. Vid högre felvoter ökar kurvan eftersom då och då är det ett parti som allkontrolleras. Vid ännu högre felkvoter blir ännu fler partier som utsätts för allkontroll och till sist planar kurvan ut på nivån N då alla partier genomgår allkontroll.

Dubbel provtagning.   Vid dubbel provtagning tar man först ett mindre stickprov och om felvoten är mycket låg (eller hög) kan man redan nu besluta om partiet skall godkännas eller inte. Ibland blir utfallet otydligt och då tar man ytterligare ett stickprov och om det sammanlagda antal felaktiga blir tillräckligt stort kan partiet avvisas, annars inte. Man kan beräkna en OC-kurva, och andra egenskaper, för denna beslutsregel. Se littteraturen för detaljer!

Kostnader.   Man kan också studera de kostnader som stickprovsförfarandet ger upphov till och kanske som en funktion av felkvoten. Här ingår antagligen kostnader för själva arbetet men säkert också extra kostnader för allkontroll eller förseningsavgifter, böter, etc.

Felbedömning.   Den teoretiska behandlingen av stickprovsförfarandet, inklusive OC-kurvan och andra egenskaper, beräknas utifrån antagandet att inga felbedömnigar sker. Men antag att det finns en slumpmässig osäkerhet i just bedömningen av 'ej OK' respektive 'OK'. Hur påverkar detta alla slutsatser?

Lite köteori.   De partier som går in i stickprovsförfarandet delas ju upp i 'godkända' respektive 'ej godkända'. Det betyder att det blir en stokastisk leveransprocess till den avdelning som skall utföra allkontroll. Hur skall man där dimensionera kostnader, bemanning, tid, utrymme, etc? (Allt detta p.gr.a av att felkvoten inte är noll!)

Styrkefunktion.   Inom teorin för hypotesprövning används begreppet styrkefunktion och anger sannolikheten att testet korrekt förkastar nollhypotesen när den inte gäller. Många sådana test är tvåsidiga och då blir funktionen U-formad. I vanligt stickprovsförfarande gäller att "styrkefunktionen = 1 - OC" dvs OC-kurvan och styrekefunktionen är i princip samma sak även om graferna är inverterade.

Minitab-makron.   Det finns två Minitab-makron som kan användas då man studerar OC-kurvan (se www.indstat.se [Simuleringar] och "Sim documents (I).zip"): %OC och %Merror. OC-makrot beräknar OC-kurvan och redovisar också AOQ- och ATI-kurvorna. Merror-makrot simulerar mätfel och redovisar olika sannolikheter.

••••

Något om OC-diagrammet

Y- och X-axeln.   OC-diagrammets Y-axel visar 'sannolikheten att ett parti accepteras' och X-axeln visar olika felkvoter hos processen som producerat partiet. Alla OC-kurvor startar i punkten Y=1 och X=0. Detta är ju självklart – om felkvoten är noll (X) kan inte några fel produceras och då är 'sannolikheten att partiet accepteras' lika med 1 dvs det är helt säkert att partiet levereras.

Den perfekt OC-kurvan.   Diagrammet innehåller också en grön linje. Denna motsvarar en perfekt OC-kurva dvs alla partier som kommer från en felkvot mindre än AQL accepteras med sannolikheten 1 och alla partier från en process med felkvot större än AQL kommer att avvisas.

Den icke-perfekta OC-kurvan.   Med hjälp av 'Stickprovstorlek' och 'c' beräknas en OC-kurva över en större del av möjliga felkvoter. Resultatet presenteras som röda prickar i diagrammet och det framgår tydligt att det finns en avvikelse från den perfekta OC-kurvan.
Det finns en risk att partier som kommer från felkvoter under AQL kommer att avvisas och anledningen är att man av slumpmässiga skäl fått mer än 'c' felaktiga i stickprovet.

En 'löpare'.   Genom att ändra 'Processens felkvot' med sliden så förflyttas också en punkt längs OC-kurvan med pekare till Y- och X-axlarna.

••••

Något om binomialfördelningen

Diagrammet visar en binomialfördelning med parametrarna 'Stickprovstorlek' och 'Processens felkvot' enligt de två sliderna. Väntevärdet visas med en liten svart triangel under X-axeln. Standardavvikelsen anges med små korta röda skalstreck. Om inte hela fördelningen ryms inom diagramytan kan 'xmin' och 'xmax' ändras.

Sliden 'c' anger hur många av diagrammets enskilda sannolikheter som ritas röda (om c = 2 är det sannolikheten för X=0, X=1, X=2). Summan av de blå sannolikheterna är sannolikheten att partiet godkänns. Detta visas på det högra diagrammet. (Se www.indstat.se [Simuleringar] för mer info om binomialfördelningen och flera andra fördelningar.)

••••

Info om in/utdata

μ.  Väntevärdet (teoretiskt medelvärde) i binomialfördelningen. Väntevärdets läge visas också som en liten svart triangel under X-axeln.

σ.  Sigma är binomialfördelningens teoretiska standardavvikelse och visas under X-axeln som små röda skalstreck från väntevärdet.

Slider.  Det finns tre olika slider – Stickprovstorlek, c och Processens felkvot. Då värdet på någon av sliderna Stickprovstorlek eller Processens felkvot ändras sker en uppdatering av diagrammet.
En OC-kurva bestäms entydigt av Stickprovstorlek och c, därav inramningen. Observera att sliderna också kan ändras med hjälp av vänster/högerpil på tangentbordet. Om 'max' på Processens felkvot ändras så ändras också X-skalan i högra diagrammet (OC-kurvan).

AQL.  AQL (Acceptable Quality Level) är en felnivå som – mellan 'producent' och 'mottagare' – kan anses vara acceptabel. Partier från en process med en felkvot under AQL förväntas godkännas och partier från en process med en felkvot över AQL, förväntas avvisas till allkontroll. Det finns tre AQL-nivåer att välja bland – 1.5%, 4.0% och 6.5%. Man väljer nivå med respektive tryckknapp och resultatet visas som en grön, streckad linje i OC-diagrammet.

••••