Info, referenser, m.m...

Rayleighfördelningen

Rayleighfördelningen – några egenskaper

Rayleighfördelningen är en kontinuerlig fördelning som
ofta används i t.ex. tidsmätningar, livslängdsdata, etc.

Sannolikhetsfördelningen

Fördelningsfunktionen

μ:

σ:

F(x):

x:

b-parameter:

 Välj en fördelning...

Kontinuerliga fördelningar

  Exponentialfördelning – ett specialfall av Weibullfördelningen då formparametern a = 1. Används ofta för att modellera väntetider.

  Gammafördelning – Gammafördelningen är en kontinuerlig fördelning och nämns ofta då man modellerar livslängder som är summan av ett antal (exponentialfördelade) tider mellan händelser.

  Lognormalfördelning – används ibland som livslängsfördelning med något speciella egenskaper. Har en nära koppling till normalfördelningen.

  Normalfördelning – den vanligaste kontinuerliga fördelningen.

  Rayleighfördelning – ett specialfall av Weibullfördelningen då formparametern a = 2. Används ofta inom radioteknologi vid modellering av dämpning s.k. Rayleigh fading.

  Weibullfördelning – en vanlig fördelning för tider – kötider, livslängder, väntetider, etc. Låga värden på formparametern ger positivt skeva fördelningar medan höga värden ger negativ skevhet.

Diskreta fördelningar

  Binomialfördelning – modellerar antal felaktiga x i ett stickprov om n enheter då processens felkvot är p.

  Geometrisk fördelning – modellerar antal 'OK' mellan varje 'ej OK' om processens felkvot är p.

  Poissonfördelning – modellerar antal händelser i något kontinuum – ett tidsintervall, en yta, en volym, etc.

••••

'Min' måste vara större 0 och mindre än 'Max'!
(dvs 0 < Min < Max)

Ändra i rutorna nedan:

Några vanliga användningsområden


Rayleighfördelningen är ett specialfall av Weibullfördelningen som är en vanlig kontinuerlig sannolikhetsfördelning som används i en mängd olika applikationer. I litteraturen tycks de vanligaste exemplen vara inom livslängdsanalys.
Inom telekommunikation finns begreppen Rayleigh-spridning och Rayleigh-dämpning.

Om man beräknar det radella avståndet från en punkt där både X- och Y-koordinaten är normalfördelade med medelvärde 0 och standardavvikelse 1, erhålles en Rayleigh-fördelning (dvs användningen av Pytagoras sats).

••••

Något om parametrar, resultat och diagram


μ:  Fördelningens väntevärde. Anges också i rött på X-axeln under sannolikhetsfördelningen. Väntevärdet beräknas med fördelningens parameter, b.

σ:  Fördelningens standardavvikelse. Anges som röda skalstreck på X-axeln under sannolikhetsfördelningen. Standardavvikelsen beräknas med fördelningens parameter, b.

F(x):  Den färgade ytan till vänster om den röda vertikala linjen på X-axeln (ytan visas då markören dras över det vänstra diagrammet). F(x)-värdet anger sannolikheten att få ett värde mindre eller lika med x och visas också på den högra grafens Y-axel. F(x) är alltid inom intervallet [0, 1], dvs 0 < F(x) < 1.

x:  x-värdet visas på X-axeln under sannolikhetsfördelningen då de markören dras över det vänstra diagrammet. x-värdet visas också på det högra diagrammets X-axel.

b-parameter:  Rayleighfördelningen är ett specialfall av Weibullfördelningen då dess a-parameter = 2. Sålunda använder vi här b som bokstav på parametern för att understryka detta släktskap (en parameter som är konstant brukar utelämnas). (I litteraturen förekommer väldigt olika beteckningar på parametern.)
Parametervärdet ändras med hjälp av skjutreglaget och skalan kan ändras genom att klicka på nuvarande värden och skriva in andra. Observera att parameter-värdet alltid är > 0. Det går att använda piltangenterna för att ändra parameterns värde.

••••

X-axeln
X-axeln i bägge diagrammen har ett min- och ett max-värde. Dessa kan ändras på sannolikhetsfördelningens X-axel till något värde som kanske bättre passar den uppritade fördelningen. Om något värde ändras så sker automatiskt samma ändring i högra diagrammet. Min- eller max-värdet ändras genom att klicka på nuvarande värden och skriva in andra.

Y-axeln
Y-axeln i sannolikhetsdiagrammet (det vänstra diagrammet) är av ringa intresse och har därför utelämnats. Observera att Y-axeln på sannolikhetsdiagrammet inte visar sannolikhet. Y-axeln i högra diagrammet är dock ett sannolikhetsmått (därav intervallet [0, 1]) och visar värdet av den färgade ytan i sannolikhetsdiagrammet då markören dras över det vänstra diagrammet.

Högra diagrammet
Det högra diagrammet kallas vanligen för en fördelningsfunktion och betecknas ofta i datorprogram för cdf (cumulating distribution function). Det finns tre små blå markeringar på Y-axeln, dessa är kvartil 1, 2 och 3, se övningarna!
I datorprogram visas ofta kurvan med transformerade axlarna så att kurvan bildar en rät linje. Detta är praktiskt om mätdata plottas i diagrammet för att avgöra överensstämmelse mellan data och modell.

••••

Några grundläggande övningar


Övning 1 – ändra a-parametern
Rayleighfördelningen är ett specialfall av Webullfördelningen där a-parametern är konstant, nämligen 2. Det finns därför ingen skala för a-parametern.

Övning 2 – ändra b-parametern
Dra b-parametern fram och tillbaka och notera att kurvan behåller formen men breds ut över X-axeln och väntevärdet och standardavvikelsen ändras.

Övning 3 – ändra X-max
Gör en omstart och klicka på max X-värde och ändra det från 9.0 till 7.0. Notera att plus och minus tre standardavvikelser omfattar praktiskt taget all sannolikhetsyta och att detta gäller oavsett vilka parametervärde som används. (Notera att det är knappt 2.0 standardavvikelser (de röda skalstrecken) från väntevärdet till skalans nollpunkt. Det är ju meningslöst att rita den negativa skalan ty fördelningen existerar bara på den positiva X-axeln.)

Övning 4 – illustration av sannolikhet
Dra markören över det vänstra diagrammet. Värdet på den färgade ytan, och motsvarande x-värde, visar till vänster som 'F(x)' och 'x'. Dessutom visas resultatet i diagramform till höger i den s.k. fördelningsfunktionen.

Övning 5 – Q1, Q2, Q3
Ibland är man intreserad av kvartilerna dvs de X-värden som delar in fördelningen i bitar om 25%. Kvartil 2 (Q2) kallas också för medianen dvs det X-värde som delar ytan i två lika delar. En Rayleighfördelning med parametervärdet 2.55 har följande resultat: Q1 = 1.368, Q2 = 2.123, Q3 = 3.002. Dra makören över det vänstra diagrammet och verifiera att dessa värden stämmer i diagrammet till höger.

Övning 6 – väntevärde och median
Drag markören över det vänstra diagrammet så att 50% av ytan täcks (dvs 'F(x): 0.500') och notera att det finns en skillnad mellan väntevärde och median. I en Rayleighfördelning är medianen alltid mindre än väntevärdet. Medianen beräknas med formeln b*ln(2)**1/a och väntevärdet med formeln b*G(1 + 1/a) där a = 2. (En förenkling ger medianen = b*0.834, väntevärdet = b*0.886.)

••••

Beräkning av my (μ) och sigma (σ):

Generellt för alla fördelningar gäller följande två uttryck:

μ=E( X) σ2=E( X-μ ) 2


För Rayleighfördelningen får vi följande:

μ=b π 4 σ=b (1- π4 )


Rayleighfördelningen är ett specialfall av Weibullfördelningen med a = 2. Uttrycken ovan är därför en förenkling av de formler som finns under Weibullfördelningen.

••••